Родился 10 июля 1930 года в Харькове.

Его отец работал на танкостроительном заводе, и в доме жили многие работники этого завода, в том числе и Михаил Ильич Кошкин, Главный конструктор танка Т-34, признанного лучшим танком Второй мировой войны. В 1941 году танкостроительный завод был эвакуирован в Нижний Тагил на площадку Уралвагонзавода. Многие цеха возводились на голом месте и ещё не обустроенные, с ходу начинали работу по выпуску танков. Вместе со всеми была эвакуирована также семья Гриня. Анатолий Гринь в возрасте 13-14 лет принимал участие в этих работах, что послужило основанием для присвоения ему звания Ветерана Великой Отечественной войны

После возвращения в Харьков Анатолий в 1948 году окончил среднюю школу и поступил в Харьковский политехнический институт на энергомашиностроительный факультет (паровые и газовые турбины).

В 1953 году с пятого курса института был призван в армию и направлен для продолжения обучения в Артиллерийскую инженерную академию им. Дзержинского. В июне 1954 года окончил академию, получил диплом, где была указана квалификация «Артиллерийский инженер-механик по специальности артиллерийское вооружение», и воинское звание «инженер-лейтенант». Был назначен на должность начальника расчёта на Государственный центральный полигон Капустин Яр.

В период службы на полигоне занимал должности «инженер-испытатель», «ведущий инженер». Участвовал в испытаниях свыше 10 ракетных комплексов и пусках более чем в 300  ракет. Занимался подготовкой ракетных частей к постановке на боевое дежурство, в том числе частей, переданных из дальней авиации. Был одним из разработчиков боевых графиков пуска ракет из различных степеней боевой готовности. Выезжал на проверки войсковых частей, несущих боевое дежурство.

Участвовал в выполнении ряда научно-исследовательских работ, исследованиях точности прицеливания ракет Р-1, Р-5М, Р-12, Р-14, определении влияния деформации корпуса ракеты в результате заправки компонентами топлива на точность прицеливания, написании руководств службы и боевых уставов, в рационализаторско-изобретательской работе (предложения по новой системе прицеливания ракеты Р‑12, упрощению технологии подготовки ракеты). Принимал участие в научно технических конференциях на полигонах Капустин Яр, Байконур и Плесецк.

В 1964 году был переведен в военное представительство № 1058 Главного управления ракетного вооружения, при предприятии п/я 4, г. Загорск (испытательном полигоне промышленности). Был членом комиссии по испытаниям семи ракет 8К63У, выделенных для выявления и устранения причин повышенного рассеяния точек падения головных частей при пусках ракет из шахтных пусковых установок.

В 1966 году назначен военпредом в ВП 2253 при Филиале 2 ОКБ-52. В этом качестве участвовал в разработке, испытаниях и принятии на вооружение наземного оборудования ракеты УР-100 (8К84).

С 1969 по 1979 годы работал заместителем руководителя военного представительства № 526 при КБ транспортно-химического машиностроения, где вёл вопросы доработки комплектующих ракетных комплексов в целях повышения их надёжности и долговечности, а также разработки, испытаний и приёма в эксплуатацию систем заправки космических аппаратов и ракет.

В 1979 году в звании подполковника-инженера уволен в запас по болезни.

После увольнения, с1980 по 1992 год работал на должностях заместителя начальника отдела, старшего научного сотрудника во Всесоюзном научно-исследовательском институте торгового машиностроения Министерства лёгкой и пищевой промышленности и товаров народного потребления (позже переданном в Министерство судостроительной промышленности и переименованном в НИИ «Полином»). Участвовал в разработке бортового морозильника для питания космонавтов, был членом комиссии по координации работ предприятий по созданию и производству оборудования лёгкой и пищевой промышленности и товаров народного потребления в системе военно-промышленного комплекса.

В 1992 году перешёл на работу в оздоровительный комплекс в Измайлово, где был заместителем директора.

За работу в период Отечественной войны он получил удостоверение Ветерана Великой отечественной войны. Ветеран Вооружённых Сил. Ветеран РВСН. Награждён 10 медалями.

Ветераны полигона Капустин Яр: Гринь Анатолий Григорьевич, Шепталин Валентин Андреевич, Иконников Николай Васильевич

Написал и издал книгу воспоминаний «Спецнабор в Ракетные войска в 1953 году» с подзаголовком «Студенты-лейтенанты в Капустином Яре», пользующуюся большим успехом у товарищей по спецнабору, и брошюру о праздновании юбилея полигона Капустин Яр.

Анатолий Григорьевич женился в 1954 году. Жена, Галина Спиридоновна, историк по образованию, хорошо владела немецким языком, в Кап. Яре работала в технической библиотеке, занималась переводами. После переезда в Москву защитила кандидатскую диссертацию, стала преподавателем в МГУ. Скончалась в 2019 году. У них двое сыновей, Виктор и Вадим, и трое внуков.

С 1980 года занимался земледелием на своей крестьянской усадьбе в опустевшей тогда деревне Ивлево Калужской области.

В последние годы Анатолий Григорьевич активно сверял свою жизнь с десятью  Божьими заповедями, глубоко изучал религиозную литературу, регулярно пел в церковном хоре.

Анатолий Григорьевич Гринь ушёл из жизни на пороге своего 90‑летия 6 июня 2020 года в разгар пандемии COVID‑19. Он похоронен на Щербинском кладбище, участок № 24.